Question

新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品，该产品的成本为每件40元，市场调查统计：年销售量y（万件）与销售价格x（元）（40≤x≤80，且x为整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定售价才能使每年产品销售的利润W（万元）最大？
（3）新鑫公司计划五年收回投资，如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？

Answer

（1）根据图象可知分为40≤x≤60与60≤x≤80两段，且都是一次函数，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）分别从当40≤x≤60时与当60≤x≤80时去分析，注意当40≤x≤60时，W=（-2x+150）（x-40），当60≤x≤80时，W=（-x+90）（x-40），利用二次函数的知识求解即可；
（3）首先求得五年的投资，则分别从当40≤x≤60时与当60≤x≤80时去分析即可求得答案．
【解析】
（1）y=（且x是整数）；

（2）当40≤x≤60时，W=（-2x+150）（x-40）=-2x2+230x-6000=-2（x-57.5）2+612.5．
∴x=57或58时，W最大=612；
当60≤x≤80时，W=（-x+90）（x-40）=-x2+130x-3600=-（x-65）2+625．
x=65时，W最大=625．
∴定价为65元时，利润最大．

（3）3000÷5=600．
当40≤x≤60时，W=（-2x+150）（x-40）=-2（x-57.5）2+612.5=600，
解得x1=55，x2=60．
当60≤x≤80时，W=（-x+90）（x-40）=-（x-65）2+625=600，
解得x1=70，x2=60．
答：售价为55元，60元，70元都可在5年收回投资．