Question

设抛物线C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁的顶点为（m₁，n₁），抛物线C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂的顶点为（m₂，n₂），如果a₁+a₂=0，那么我们称抛物线C₁与C₂关于点（，）中心对称．给出抛物线①y=x²+4x+3，抛物线②y=-x²+4x+1．
（1）判断抛物线①与抛物线②是否中心对称？若是，求出对称中心的坐标；若不是，说明理由；
（2）直线y=m交抛物线①于A、B两点，交抛物线②于C、D两点，如果AB=2CD，求m的值；
（3）设抛物线①与抛物线②的顶点分别为M、N，点P在x轴上移动，若△MNP为直角三角形，求点P坐标．

Answer

（1）根据二次函数解析式a1+a2=0，求出两函数的关系，结合顶点坐标得出对称中心；
（2）利用根与系数的关系以及两点之间的距离得出m的值即可；
（3）利用勾股定理以及三角形相似分别得出符合要求的所有点的坐标．
【解析】
（1）抛物线①y=x2+4x+3的a1=1，抛物线②y=-x2+4x+1的a2=-1．
∵a1+a2=0，
∴抛物线①与抛物线②是中心对称，抛物线①y=x2+4x+3的顶点坐标（-2，-1），
抛物线②y=-x2+4x+1的顶点坐标（2，5），
∴对称中心的坐标（，），
即：（0，2）；

（2）点A、B的横坐标是方程x2+4x+3=m的两根，
∴xA+xB=-4，xA•xB=3-m，
∴AB=|xA-xB|==，
同理CD=，
∵AB=2CD，
解得：m=；

（3）设点P（n，0）．由（1）得M（-2，-1），N（2，5），
作ME⊥x轴于E，作NF⊥x轴于F，PN2=NF2+PF2=25+（n-2）2，
同理PM2=ME2+PE2=1+（n+2）2，MN2=42+62=52．
①若∠MNP=90°，PM2=MN2+PN2，解得n=；
②若∠NMP=90°，PN2=MN2+PM2，解得n=-；
③若∠NPM=90°，PN2+PM2=MN2，解得n=±3（或由则△NPF∽△PME亦可求）．
综上，点P坐标为：P1（，0），P2（-，0），P3（3，0），P4（-3，0）．