Question

如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-8，0），△ABO是直角三角形，且OA=10，将△ABO绕点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O
（1）求点A′的坐标；
（2）连接AA′，求△AOA′的面积；
（3）抛物线y=ax²+bx+c经过点A′、B′和点C（-1，1），求此抛物线的解析式；
（4）若P是（3）中的抛物线中直线A′O上方的一点，求点P到OA′的最大距离．

Answer

（1）根据Rt△AOB中，OA=10，OB=8，得出AB=6，进而得出A′B′=6，OB′=8，从而得出点A′的坐标；
（2）根据旋转图形的性质可知，AO=OA′，∠AOA′=90°，从而求出△AOA′面积；
（3）首先求出A′、B′的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式；
（4）首先证明△PMQ∽△OA′B′，从而得出PQ=PM=（-x2+x+8），利用二次函数最值求出．
【解析】
（1）在Rt△AOB中，OA=10，OB=8
∴AB=6，
∵△AOB≌△A′OB′，
∴A′B′=6，OB′=8，
∴点A′的坐标为（6，8）；

（2）由题意可知，△AOB≌△A′OB′，
则∠AOB=∠A′OB′，OA=OA′，
∵∠AOB+∠AOB′=90°，
∴∠AOB′+∠A′OB′=90°，
∴△AOA′是等腰直角三角形，
∴△AOA′的面积=×10×10=50；

（3）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点B′（0，8），
∴c=8，
∴抛物线解析式为y=ax2+bx+8抛物线过点B和A′，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x+8；

（4）过点P作x轴的垂线，交OA′于点M，交x轴于N，作PQ⊥OA′于Q，
设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为-x2+6x+8，
点M的横坐标为x纵坐标为x，
∴PM=-x2+6x+8-x=-x2+x+8，
易证△PMQ∽△OA′B′，
∴PQ=PM=（-x2+x+8）=-x+x+=-（x-）2+，
∴PQ的最大值为．