Question

等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当a=30°时，求△OAB与△OA₁B₁重合部分（图2中的阴影部分）的面积；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，求a的值；
（4）当60＜a＜180时，设直线A₁B₁与BA相交于点P，PA、PB₁的长是方程x²-mx+m=0的两个实数根，求此时点P的坐标．

Answer

（1）根据A点坐标可知，正三角形的边长是2，过B作x轴的垂线，根据三角函数即可求得；
（2）阴影部分的面积=S△OAN-S△QAM，而这两个三角形的面积很容易得到；
（3）当A1，B1的纵坐标相同时，A1B1∥x轴，a1=120°或a2=300°
（4）可以证明PA=PB1，即方程x2-mx+m=0的两个相等实数根，根据根的判别式即可求得m的值，从而求得PA，PB1的长，得到P的坐标．
【解析】
（1）B的坐标是（1，）；（1分）

（2）图2中的阴影部分的面积=S△OAN-S△QAM
=×1××
=6-；（3分）

（3）当A1，B1的纵坐标相同时，A1B1∥x轴，
∴a1=120°或a2=300°；（5分）

（4）连接AB1，

∵OA=OB1=2，
∴∠OAB1=∠0B1A
∴∠PB1G=∠B1AH，
又∵∠PAB1=180°-60°-∠B1AH=120°-∠B1AH
∠PB1A=180°-60°-∠AB1G=120°-∠AB1G
∴∠PAB1=∠PB1A，
∴PA=PB1（6分）
∴方程x2-mx+m=0的两个相等实数根，（7分）
△=（-m）2-4m=0
m1=0（舍去），m2=4（8分）
方程为：x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，
∴PA=PB1=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×=，
AM=AP•cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，）（10分）