Question

阅读下面的文字，回答后面的问题．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
【解析】
令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴
问题（1）求2+2²+…+2¹⁰⁰的值；
（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值；
（3）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去…一直作图到第10个图形为止．已知正方形ABCD的边长为1，求所有的正方形的所有边长之和．

Answer

（1）根据题中所给的S的表达式及同底数幂的乘法法则求出2S的表达式，再把两式相减即可求出S的值；
（2）先求出3+32+33+…+340的值，再乘以4即可求出4+12+36+…+4×340的值；
（3）由题意可知一直作图到第10个图形为止的所有的正方形的所有边长之和即为求4×[1++（）2+…+（）9]的值，令S=1++（）2+…+（）9，根据同底数幂的乘法法则求出S的表达式，再把两式相减即可求出S的值，从而所有的正方形的所有边长之和．
【解析】
（1）∵S=2+22+…+2100①，
∴2S=22+23+…+2101②，
由②-①：S=2101-2；

（2）令S=1+3+32+33+…+340①，将等式两边提示乘以3得到：3S=3+32+33+34+…+341②，
②-①得到：2S=341-1，
∴S=．
∴4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340）=2（341-1）；

（3）所有的正方形的所有边长之和为4×[1++（）2+…+（）9]，
令S=1++（）2+…+（）9①、
S=+（）2+…+（）10②，
②-①得到：（-1）S=32-1=31，S=31×（+1）．
故所有的正方形的所有边长之和为4×31×（+1）=124+124．