Question

将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图2中，若AP₁=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AP₁的交点．当旋转角为多少度时，有△AP₁C∽△CP₁P₂？这时线段CP₁与P₁P₂之间存在一个怎样的数量关系？．

Answer

（1）根据△A1B1C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B1CQ≌△BCP1，然后可求证：CP1=CQ；
（2）作P1D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P1CD=45°分别求出P1D=AP1，CP1=P1D=AP1，而AP1=a可求CQ．
（3）当△A P1C∽△CP1P2时，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根据相似求出CP1与P1P2之间存在的数量关系．
（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；
又B1C=BC，∠B1=∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ=CP1；

（2）【解析】
如图：作P1D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1；
∵∠P1CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP1=P1D=AP1；
又AP1=a，CQ=CP1，
∴CQ=a；

（3）【解析】
当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，
所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．
这时==，
∴P1P2=CP1．