Question

矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点，如图所示．
（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax²+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A₁，点D的对应点为D₁，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A₁、D₁两点距离之和OA₁+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．

Answer

（1）由矩形的性质可知B点的坐标，因为点D是BC边上的中点，所以可求出点D关于y轴对称点D′的坐标，把A点和D点的坐标代入抛物线y=ax2+bx可求出a，c的值；
（2）先设直线AD′的解析式为y=kx+n，由已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y轴的交点坐标即可；
（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式．
【解析】
（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6）；点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax2+bx得：
，
∴；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：
∴，
解得：，
∴直线y=x+4，与y轴交于点（0，4），
点P（0，4）；

（3）由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短；
∴y+4=-x2-3x，
∴此时的解析式为y=-x2-3x-4．