Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，将一直角△DEF纸片平放在△ACB所在的平面上，且使直角顶点重合于点D（C始终在△DEF内部），设纸片的两直角边分别与AC、BC相交于M、N．
（1）当∠A=∠NDB=45°时，四边形MDNC的面积为______；
（2）当∠A=45°，∠NDB≠45°时，四边形MDNC的面积是否与（1）相同？说明理由；
（3）当∠A=∠NDB=30°时，四边形MDNC的面积为______

Answer

（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，求出AD=DB，再利用勾股定理求出MD=ND的长，在求证出四边形MDNC为正方形即可．
（2）连接CD，易证△MDA≌△NDC，然后可得S四边形MDNC=×2×2即可．
（3）根据∠A=∠NDB=30°，求证四边形MDNC为矩形，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出MD，再利用勾股定理求出DN，然后即可求出四边形MDNC的面积．
（4）过D分别作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，求证△DPM∽△DRN，利用其对应边成比例求得RN=PM，RN=1-x，PM=，然后即可求得四边形MDNC的面积．
【解析】

（1）如图1，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，
∴AD=DB=2，
∵∠A=∠NDB=45°，
∴AC∥DE，∠A=∠B=45°，
∴MD=ND，
∴MD=ND=，
∴四边形MDNC为正方形．
∴四边形MDNC的面积为×=2；

（2）相同．
如图2，连接CD，
∵∠A=45°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴AD=BD=CD，
∴∠ADM+∠CDM=90°，∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠MDA=∠CDN，
∠A=∠DCN=45°，
∴△MDA≌△NDC，
∴S四边形MDNC=S△MDC+S△DNC=S△ADC=2××2=2；

（3）如图3，∵∠A=∠NDB=30°，
∴四边形MDNC为矩形，
∴MD=1，DN=，
∴S矩形MDNC=MD•DN=1×=；

（4）发生变化．
当∠A=30°，∠BDN≠30°时，如图4，过D分别作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，
∵∠PDR=∠FDE=90°，
∴∠PDM=∠NDR，
∴△DPM∽△DRN，
∴==
∴RN=PM，RN=1-x，PM=，
∴∠BDN＜30°时，S=+×（1-x）-××1=-x，
或∠BDN＞30°时，S=-×（1-x）+××1=+x．