Question

如图，⊙O的半径为4cm，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，且BC=4cm，当点P在⊙O上运动时，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形，若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由．

Answer

假设存在点P，使得为△PBC等腰三角形，并能找到4个符合条件的点P，并求出距离．
【解析】
假设存在点P，使得为△PBC等腰三角形，
当BP=BC时，可得OP=BP=OB，
则△OBP1为等边三角形．
∴∠P1BG=30°，过P1作P1G⊥BC于G，
∵cm．
∴P1到BC距离为2cm．
当CP=BC时，∵BC=OB=OP2=CP2，∠OBC=90°，
∴四边形OBCP2为正方形，
∴∠BCP2=90°，P2C=4cm．
∴P2到BC距离为4cm．
当CP=BP时，作BC的垂直平分线交⊙O于P3．
∵P3K⊥BC，
∴（cm）
∴（cm），
∴P3到线段BC距离为（cm）．
∵P3K⊥OP2，
∴（cm）．
∴（cm）．
∴P4到线段BC距离为（cm）．
∴存在4个点P满足条件，P到BC的距离分别为2cm，4cm，（）cm，（）cm．