Question

平面内两条直线l₁∥l₂，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．
（1）如图1，将点C放置在直线l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a；
请你继续完成下面的探索：
（2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论；
（3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l₁与AB、AD相交于E、F，直线l₂与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m₁，△CGH的周长为m₂，试问m₁，m₂和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

Answer

（1）首先连接EC，FC，根据△BCE≌△OCE，得出BE=EO以及OF=FD，进而得出AE+AF+EF=AB+AD的值；
（2）证明△BCE≌△MCE进而得出△CMF≌△CDF，得BE=ME，MF=DF，从而得出AE+AF+EF=AB+AD=2a；
（3）根据（2）中结论，以及平行四边形的性质得出FN=GC，NQ=GP，进而得出KN=GH，从从而求出AE+AF+EF+GC+CH+GH的值．
（1）证明：连接EC，FC．
∵AC⊥l1，
∴∠B=∠COE=90°．
在Rt△BCE和Rt△OCE中
又∵BC=CO=a，EC=EC，
∴△BCE≌△OCE（HL）．
∴BE=EO．同理OF=FD．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（2）如图4，过C作CM⊥EF于M，
则∠B=∠EMC=90°．
在Rt△BCE和Rt△MCE中，
∵BC=CM=a，EC=EC，
∴△BCE≌△MCE（HL），
同理△CMF≌△CDF
得BE=ME，MF=DF．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（3）m1+m2=2a
证明：如图5将l1，l2分别同时向下平移相同的距离，则l4和l3的距离还是a，使得l4经过点C，l3交AB于M，交AD于N
由（2）的证明知AM+MN+AN=2a，
过F作FK∥AB交MN于K．
∴四边形EMKF为平行四边形．
∴EF=MK，FK=EM，
∵作FQ⊥MN于Q，CP⊥GH于P．则FQ=CP．
∵FK∥AB，
∴∠FKQ=∠AMN．
作BJ∥MN，
∴∠AMN=∠ABJ．
∵∠ABJ+∠CBJ=90°，∠CBJ=∠BGT=∠CGP，∠CGP+∠GHC=90°．
∴∠FKQ=∠GHC．
∴△FQK≌△CPH
∴FK=CH，KQ=PH．
同理FN=GC，NQ=GP．
∴KN=GH．则AE+AF+EF+GC+CH+GH，
=AE+EM+AF+FN+MK+KN，
=AM+AN+MN，
=2a．