Question

如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则=    ．

Answer

根据△CDF为等腰三角形，可以分三种情况进行讨论：①FC=FD，②DF=DC，③CF=CD；
①当点E与点D重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，利用已知条件求证△ABF≌△CDM，然后即可得出；
③根据△ABF∽△BCF，利用其对应边成比例得CD2=AD•AE，再利用（AAS）求证△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得关于AD的方程即可．
【解析】
①当FC=FD，点E与点D重合时，即四边形为正方形，则=1；

②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，

∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴===；
③当FC=DC，∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴=，=，
则CD2=AD•AE，
∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE2=BE2-AB2=AD2-CD2，
∴AE==，
∴AE2=AD2-AD•AE，
AD2-AD•AE-AE2=0，
解得AD=AE，AD=AE（不合题意舍去），
∴==．
故答案为：1；；．