Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=75°，AB⊥BC，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，△BFC的面积=4cm²，求AB的长度．

Answer

（1）根据直角梯形ABCD，得到∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，求出∠ADC=105°，根据等边三角形的性质得出∠EDC=∠DCE=60°，求出∠EDA=45°即可；
（2）连接AC，由∠EDA=∠ADE=45°，得到AE=AD，根据等边三角形，得到CE=CD证△DCA≌△DCA，推出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠CAB=45°，推出∠CAB=∠ACB即可；
（3）作FG⊥BC于G，由∠DCB=75°，∠CBF=30°，推出∠DCB=∠BFC，得到BC=BF，根据三角形的面积公式得到BC×FG=4，求出BC=4，即可得出答案．
【解析】
（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DCB+∠ADC=180°，∠BAD=∠B=90°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ADC=105°，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=∠DCE=60°，
∴∠EDA=45°，
∴∠AED=45°，
答：∠AED的度数是45°；

（2）证明：连接AC，
∵∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD
∵△DCE是等边三角形，
∴CE=CD
∵AC=AC，
∴△DCA≌△ECA，
∴∠ECA=∠DCA=30°，
∵∠DCB=75°，
∴∠ACB=45°
∵∠B=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC；

（3）【解析】
作FG⊥BC于G，
∵∠DCB=75°，∠CBF=30°，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠BFC，
∴BC=BF，
在Rt△BFG中，∠CBF=30°，
∴BF=2FG=BC，
∵BC×FG=4，
∴BC2=4cm2，
∴BC=4cm，
∴AB=BC=4cm，
即AB长为4cm．
答：AB的长度是4cm．