Question

如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求的长．

Answer

（1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是∠A′BC的度数．然后利用图形来计算．从图中可看出，OG=OB的一半，所以角PBG=30°，所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切；
（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算
【解析】
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切（1分）
理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA′的位置，则∠A′BO=30°
过O作OG⊥BA′垂足为G
∴OG=OB=2（3分）
∴BA′是⊙O的切线（4分）
同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA″的位置时
BA″也是⊙O的切线．（6分）
∵OG=OB
∴∠A′BO=30°
∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60°
同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA″的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120°；

（2）∵MN=，OM=ON=2
∴MN2=OM2+ON2（7分）
∴∠MON=90°（8分）
∴的长为=π．