Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（3）若在直线y=-x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．

Answer

（1）因为以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作的等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，则PK=KM=NM=2，进而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情况讨论：当0＜b≤2时，S=0；当2＜b≤3时，重合部分是一个等腰直角三角形，可设AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=（2b-4）2；当3＜b＜4时，重合部分是一个四边形，因此可设AC交PN于H，四边形的面积=三角形PMN的面积-三角形HAN的面积，因为NA=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）2+4，当b≥4时，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）因为直线y=-x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，利用90°的圆周角对的弦是直径，所以以OM为直径作圆，当直线y=-x+b（b＞0）与此圆相切时，求得的就是b的最大值，而此时b=+1；
（4）因为△PCD为等腰三角形，所以需分情况讨论，当PC=PD时，b=4．当PC=CD时，b1=2（舍），b2=5．当PD=CD时，b=8±2．
【解析】
（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；
②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=（2b-4）2=2b2-8b+8，

③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S△PMN-S△ANH=4-2（4-b）2=-2b2+16b-28，

④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；

（3）以OM为直径作圆，当直线y=-x+b（b＞0）与圆相切时，b=+1，如图（五）；
当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4
设Q（x，b-x），因为∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ2+QM2=OM2，
即[x2+（b-x）2]+[（x-4）2+（b-x）2]=42，
整理得x2-（2b+8）x+2b2=0，x2-（b+4）x+b2=0，
根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）2-5b2≥0，-b2+2b+4≥0，b2-2b-4≤0，可以解得 1-≤b≤1+，由于b＞0，所以0＜b≤1+．

故0＜b≤+1；

（4）b的值为4，5，．
∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）
当PC=PD时，b=4；
当PC=CD时，b1=2（P、C、D三点共线，舍去），b2=5；
当PD=CD时，b=8±2．