Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CD=3，求⊙O的直径．

Answer

（1）证AE是⊙O的切线，即证AB⊥AE即可；
（2）根据切割线定理，可将DE的长求出，再由△ACE∽△BAC可将AB的长求出．
证明：（1）∵AB∥CD且AE⊥CD，
∴AB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）连接AC，根据切割线定理：AE2=ED•EC，
设DE=x，则22=x（x+3），
解得：x1=1，x2=-4（舍去），
即：DE=1，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
∴AC2=20，
∵∠ACB=∠E，∠CAE=∠B，
∴△ACE∽△BAC，
∴，
∴AB=5．