Question

下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题有（ ）

A．只有①②
B．只有①②④
C．只有①④
D．①②③④

Answer

①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．
②由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．
【解析】
∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正确；

∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正确；

③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
只有当H为BM的中点是，OH等于CN的一半，故③错误；

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选B．