Question

如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，若抛物线y=ax²+bx+4经过A，B，C三点，且AB=6．
（1）求⊙P的半径R的长；
（2）求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标；
（3）若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F，求AF的长．

Answer

（1）在函数y=ax2+bx+4中令x=0，解得y=4，则OC=PD=4，连接PA，在直角三角形△PAD中，根据勾股定理就可以得到PA的长．即圆的半径；
（2）PC是圆的半径，PC-AD可以求出，即可以得到A、B的坐标，把A，B的坐标代入y=ax2+bx+4就可以求出a、b的值．即函数的解析式．抛物线与⊙P的第四个交点E一定是C关于直线PD的对称点；
（3）以AB为直径的圆，圆心一定是点D，半径是3，连接BF，易得△AOC∽△AFB．根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AC的长．
【解析】
（1）连接AP
∵四边形ODPC为矩形
∴PD⊥AB
∴AD=BD=AB=×6=3（（1分））
又∵抛物线y=ax2+bx+4经过A，B，C三点
∴C（0，4）（2分）
即OC=4
∴PD=OC=4（3分）
∴由勾股定理得AP=5（4分）
∴⊙P的半径R的长为5；

（2）∵OD=CP=AP=5
∴A（2，0）B（8，0）（5分）
求得函数解析式为y=（x-2）（x-8）（7分）
抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标为（10，4）；（8分）
（3）连接BF
∵AB为⊙D的直径
∴∠AFB=90°=∠COA
又∵∠CAO=∠BAF
∴△AOC∽△AFB
=（10分）
∵AO=2
AC===2（11分）
AB=6，∴=
∴AF=．（12分）