Question

如图，已知BF、BE分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，EF分别交AB、AC于M、N两点．
求证：（1）四边形AEBF是矩形；（2）MN=BC．

Answer

（1）由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
（2）由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF∥BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么MN=BC．
证明：（1）∵BF、BE分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；

（2）∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=MF，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴MF∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴（或MN为△ABC的中位线）
∴MN=BC．