Question

如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值．

Answer

连接PM，设DP=x，则PC=4-x，根据平行线分线段成比例定理可得=，进而可得到=，利用三角形的面积公式可得到△MEP及△MPF的表达式，根据S=+即可得出结论．
【解析】
连接PM，设DP=x，则PC=4-x，
∵AM∥OP，
∴=，
∴=，即=，
∵=且S△APM=AM•AD=1，
∴S△MPE=，
同理可得，S△MPF=，
∴S=+=2--=2-=2+≤2-=，
当x=2时，上式等号成立，
∴S的最大值为：．
故答案为：．