Question

把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设a_ij（i、j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数的第j个数（如a₄₂=8）．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值．
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为b_n，令．若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）三角形数表中前n行共有1+2+…+n=个，即第i行的最后一个数是．
因此，使aij=2010的i是不等式≥2010的最小正整数解．
（2）先求出前n行的所有自然数的和，从而得出bn，代入即可求得cn，Tn．
【解析】
（1）因为=1953，
而=2016，所以i=63．
于是，第63行的第一个数是+1=1954．
故j=（2010-1954）+1=57．

（2）前n行的所有自然数的和为Sn==．
则，
所以当n≥2时，cn=，
∴Tn=．