Question

如果对于正整数n，7ⁿ的个位数用a_n表示，那么
（1）求a₂₀₁₀的值；
（2）当n为什么数时，-n²+2na_n取得最大值，并求出这个最大值．

Answer

（1）由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…可以看出当指数除以4，余数是几，就与7的几次方的尾数相同，由此解决问题．
（2）先将-n2+2nan变形为an2-（n-an）2，分n≠4k+2，-n=4k+2两种情况讨论求解．
【解析】
（1）∵a1=7，a2=9，a3=3，a4=1，并且an+4=an，
∴a2010=a2=9；

（2）∵-n2+2nan=an2-（n-an）2，
当n≠4k+2时，-n2+2nan≤an2≤72＜80；
当n=4k+2时，-n2+2nan=81-（n-9）2≤81-1=80，
仅当n=10时等号成立．
∴当n=10时，-n2+2nan取得最大值80．