Question

将编号为1，2，…，18的18名乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数．请问这一规定能否实现？若规定不能实现，请给出证明；若规定能够实现，请说明实现方案是否唯一．

Answer

首先由编号最大的两数之和为35，求得：同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数是25，16，9；然后设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x个、y个、z个，根据题意列方程，又由x、y、z均为非负整数，即可求得符合条件的x，y，z的值，则可求得答案．
【解析】
∵编号最大的两数之和为：18+17=35＜36，
∴同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数：25，16，9．
现设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x个、y个、z个（x、y、z均为非负整数），
依题意有25x+16y+9z=1+2+…+18，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
即16x+7y+9（x+y+z）=171，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
得16x+7y=90，x≥0，y≥0，z≥0．
又由0≤x≤＜6知，x只能取非负整数0，1，2，3，4，5．
逐一代入检验，可得方程唯一的非负整数解x=3，y=6，z=0．
下面讨论9张球台上的选手对阵情况．
（1）由x=3，知平方数为25只能有3个，而编号不小于16的3个选手18，17，16对应的平方数又只能为25，
故“两选手编号和为25”的只能是：18与7对阵，17与8对阵，16与9对阵．
（2）由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12个选手对应的平方数能且只能为16，有：1与15对阵，2与14对阵，3与13对阵，4与12对阵，5与11对阵，6与10对阵．
故规定能够实现，且实现方案是唯一的．9张球台上选手对阵情况为：
（18，7），（17，8），（16，9），（15，1），（14，2），（13，3），（12，4），（11，5），（10，6）．