Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值．
②本题要分三种情况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根据∠C的正切值，求出t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不可能和直角△CQE相似．
综合三种情况即可得出符合条件的t的值．
（3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二．
综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
【解析】
（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8-2=6．
∵CD=10，
∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-t+2+10-t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C==
∴=，∴t=
若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C==，∴=
∴t=
第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；
第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；
∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．

③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-t，AD=2，
∴PD==．
∵CE=t，QE=t，
∴QH=BE=8-t，BH=QE=t．
∴PH=t-t=t．
∴PQ==，DQ=10-t．
Ⅰ：DQ=DP，10-t=，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-t=，
化简得：3t2-52t+180=0
解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）
∴t=
第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10-t．
∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t-10．
∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．