Question

已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点在直线上，且过点A（4，0）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD-CD|的值最大，请直接写出点D的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法就可以求出这个抛物线的解析式，抛物线解析式为；
（2）在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形．当AP∥OB时，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH，设点B（x，x），求出x=6，所以B（6，6）；
（3）在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD-CD|的值最大，点C的坐标是（1，-3），要满足|AD-CD|的值最大，则点D的坐标（2，-6）．
【解析】
（1）∵抛物线过点（0，0）、（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2．（1分）
∵顶点在直线上，
∴顶点坐标为（2，-2）．（3分）
故设抛物线解析式为y=a（x-2）2-2，
∵过点（0，0），
∴，
∴抛物线解析式为；（5分）

（2）当AP∥OB时，
如图，∠BOA=∠OAP=45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH．
设点B（x，x），
故，
解得x=6或x=0（舍去）（6分）
∴B（6，6）．（7分）
当OP∥AB′时，同理设点B′（4-y，y）
故，
解得y=6或y=0（舍去），
∴B′（-2，6）；（8分）
∴B的坐标为（6，6）或（-2，6）．

（3）D坐标应是（2，-6）．（10分）