Question

已知k为整数，若关于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，则k的值是     ．

Answer

先根据原方程有有理根可得出此方程的判别式为完全平方数即=（2k+3）2-4k为完全平方数，设（2k+3）2-4k=m2（m为正整数），即4k2+8k+9-m2=0，再把此式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，再根据此方程的判别式为完全平方数即可得到关于n、m的方程组，求出m、n的值，进而可求出k的值．
【解析】
∵关于x的二次方程kx2+（2k+3）x+l=O有有理根，
∴△1=（2k+3）2-4k为完全平方数，
设（2k+3）2-4k=m2（m为正整数），即4k2+8k+9-m2=0①，
将①式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，故①式的判别式△2=64-（9-m2）=16（m2-5）应为完全平方数，
令m2-5=n2（n为正整数，且m＞n），则有（m+n）（m-n）=5，
∴，解得，
将m=2代入①式得k=-2或k=0（舍去），
∴k=-2．
故答案为：-2．