Question

如图，已知抛物线C：y=x²-2x+4和直线l：y=-2x+8．直线y=kx（k＞0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，与直线l交于点P，
分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分别为A₁，B₁，P₁．
（1）证明：；
（2）是否存在实数k，使A₁A+B₁B=8？如果存在，求出此时k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据直线y=kx（k＞0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，将两函数组成方程组得出k的取值范围，再将两直线组成方程组得出求出x的值，即可证明结论的正确性；
（2）由AA1=kx1，BB1=kx2，得出AA1+BB1=k（x1+x2）=k（2+k）=8再结合k的取值范围得出答案．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）则
由，
得x2-（2+k）x+4=0，
又由△=（2+k）2-16＞0，
∴k＞2或k＜-6，
x1+x2=2+k，x1x2=4，
OA1=x1，OB1=x2，
∴===，
由，得：
（k+2）x=8，
∴x=，
∴，结论成立；

（2）由AA1=kx1，BB1=kx2
∴AA1+BB1=k（x1+x2）=k（2+k）=8，
即k2+2k-8=0，
∴k1=2，k2=-4，
由△＞0有k＞2或k＜-6，
故不存在实数k满足条件．