Question

如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=，求弦AB的长；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为______，能构成等腰梯形的四个点为______或______或______．

Answer

（1）由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根据平行线的性质，两直线OA∥PE，内错角∠DPO=∠POA；最后由等量代换知∠BPO=∠POA，从而根据等角对等边证明AP=AO；
（2）设OH=x，则PH=2x．作辅助线OH（“过点O作OH⊥AB于点H”），根据垂径定理知AH=HB=AB；又由已知条件“tan∠OPB=”求得PH=2OH；然后利用（1）的结果及勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空．
（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；（2分）

（2）【解析】
过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=AB，（1分）
∵tan∠OPB=，∴PH=2OH，（1分）
设OH=x，则PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH-PA=2x-10，
∵AH2+OH2=OA2，∴（2x-10）2+x2=102，（1分）
解得x1=0（不合题意，舍去），x2=8，
∴AH=6，∴AB=2AH=12；（1分）

（3）【解析】
P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B．（2分）
（写对1个、2个、3个得（1分），写对4个得2分）