Question

如图，直线MN分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）比较大小：S_{四边形AEOC}______S_{四边形ODBF}；（填“＞，=，＜”）
（2）求证：=；
（3）试判断AN与BM有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）从双曲线上的任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴所围成的矩形的面积相等；
（2）利用上题得到的结论，可以得到四边形AEDK的面积等于四边形CFBK的面积，从而得到其邻边的成绩相等，进而证得比例式成立；
（3）利用上题证得的比例式加上AKB=∠CKD可以证得△AKB∽△CKD，从而可以得到∠ABK=∠CDK，证得四边形ACDN是平行四边形后结论得证．
【解析】
（1）S矩形AEOC=S矩形BDOF．

（2）∵S四边形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK，
S四边形CFBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK．
∴S四边形AEDK=S四边形CFBK
∴AK•DK=BK•CK．
∴=．

（3）∵=，∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．
∴∠ABK=∠CDK，
∴AB∥CD．
∵AC∥y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．