Question

如图，四边形ABCD为菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F．
（1）证明：△ABE≌△ADF；
（2）证明：CE=CF．

Answer

（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB=AD，∠B=∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB=∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；
（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知，BE=DF；然后根据菱形的四条边相等求得BC=CD；最后由等量代换求得BC-BE=CD-DF，即CE=CF．
证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，（2分）
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD，（4分）
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF；（6分）

（2）∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，（7分）
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，（8分）
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF．（9分）