Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos∠MAN=，AE=，求阴影部分的面积．

Answer

（1）连接OE，根据角平分线的性质及等边对等角可求得∠1=∠3，再根据平行线的性质即可得到OE⊥DE，因为OE是半径，从而得到ED与⊙O相切．
（2）由已知可得到∠MAN=60°，从而推出∠2=∠AFD=30°，根据等角对等边得到EF=AE，再根据S阴=S△OEF-S扇形OEB即可求解．
【解析】
（1）DE与⊙O相切．（1分）
理由如下：
连接OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2．
∵OA=OE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OE∥AD．
∴∠OEF=∠ADF=90°．（2分）
∴OE⊥DE，垂足为E．
∵点E在半圆O上，
∴ED与⊙O相切．（3分）

（2）∵cos∠MAN=，
∴∠MAN=60°．
∴∠2=MAN=×60°=30°．
∴∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°．
∴∠2=∠AFD．
∴EF=AE=．（4分）
在Rt△OEF中，tan∠OFE=，
∴tan30°=．
∴OE=1．（5分）
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S阴=S△OEF-S扇形OEB==．（6分）