Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长．

Answer

（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，所以cos∠BAD=，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；
（3）由于cos∠DAE=，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）

（2）【解析】
连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，（4分）
∴cos∠BAD=，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）

（3）【解析】
∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×=，（6分）
∴ED=，（7分）
∴CD=2ED=．（8分）