Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

Answer

（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（2）根据反比例函数得性质求解；
（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，），根据勾股定理得到OP==，从而得到OP最小值为，于是可得到线段PQ长度的最小值．
【解析】
（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=，
∴m=；
∴点A的坐标为（2，），
把A（2，）代入y=，得=
∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=，
又∵反比例函数y=，在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1；
（3）由图象可得：P，Q关于原点对称，
∴PQ=2OP，
反比例函数解析式为y=，设P（a，），
∴OP==，
∴OP最小值为，
∴线段PQ长度的最小值为2．