Question

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在______关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为S，求S关于x的函数关系式．

Answer

（1）通过证明∠PAE=∠EBF，结合公共角证明即可；
（2）根据AA易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知；
（3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于x的函数关系式．
【解析】
（1）相似（1分）
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
则∠PAA1=∠PBB1=，（2分）
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）
∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
∴△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=，
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
∴，
即α=2β+60°；（7分）

（3）连接BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，
∴A1B1∥AC，
由题意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA1是等边三角形，
∴A1H=sin60°A1P=，（8分）
在Rt△ABD中，BD=，
∴BG=，（9分）
∴（0≤x＜2）．（10分）