Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN．在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

Answer

（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直线OP解析式为y=-x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为-2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，（2分）
点P的坐标为（4，-4）；（3分）

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
∴x1=2，x2=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m
则，
解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP（4分）
∵顶点坐标P（4，-4）∴OP=4
设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
解得：x1=，x2=2，（6分）
当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形，（7分）
∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；（8分）

（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=t，
∴MN=MH+HN=t，
∴S=t•t•=t2（10分），
②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，
∴，
∴，
∴=3t2-12t+12，
∴S=t2-（3t2-12t+12）=-t2+12t-12，
∴当0＜t≤2时，S=t2，
当2＜t＜4时，S=-t2+12t-12．（12分）