Question

如图，直线l₁分别交x轴、y轴于A、B两点，且AO=8，，与直线交于点C．平行于y轴的直线L₂从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l₂分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P，以DE为边向左侧作等边△DEF，设直线l₂的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出直线l₁的解析式；
（2）以D、E、O、F为顶点的多边形能否为梯形，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），试探究：S与t的函数关系式．

Answer

（1）当x=0，y=OB，当y=0，求得k值，从而求得直线表达式；
（2）依题意P点横坐标为x即为t，根据l1，l2的解析式表示DE的长，当F点落在y轴上时，四边形DEOF为梯形，此时P点横坐标为DE的二分之根号3倍，列方程求解；
（3）以P点落在y轴为分界，求出分界时，t的值，按照P点在△BOC外，P点在△BOC内，两种情况，求得面积的表达式．
【解析】
（1）设直线1为y=kx+b，
当x=0时，y=b=OB=8，
当y=0时，-8=8k，则k=-，
所以直线为：y=①；

（2）当F在y轴上时，OFDE四点成为梯形，
设P（x，0），
∵直线，
∴∠EOP=60°，
∴OE=2OP，
∴OE=2x，
则，
由（1）所得DE=，
解得x=3即t=3；

（3）设点P的横坐标为xP，
∵直线1y=与直线交于点C，
∴C（4，4）；
当xP=0时，则S=0；
当0＜xP＜3时，
由以上DE=，
梯形的上底=DE-2DM=，
所以面积S==．
当3≤xP＜4时，△DEF与△BCO重叠部分的面积为△DEF的面积，
∴S=×DE×FV
=（-t+4）×（-3t+12）
=3t2-24t+48．