Question

抛物线y=-（x-1）²+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

Answer

（1）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
【解析】
（1）把x=0代入抛物线得：y=，
∴点A（0，）．
抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1．

（2）①如图：
B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴四边形DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
即，
∴△CDM≌△EDN（AAS）
∴DM=DN，
∴矩形DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=-x+4．
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°，==
又DN=MQ
∴=
∴=，BC=3，CQ=
∴Q（1+，0）
∴P1（1+，）
当∠DCE=60°，点P2（1+3，-）．
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P3（1-，），P4（1-3，-）
综上所述：P1（1+，），P2（1+3，-），P3（1-，），P4（1-3，-）．