Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

Answer

（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．