Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=9S₂，则CD=（ ）

A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

Answer

根据等腰直角三角形的面积公式，和勾股定理进行转换得出S1=，S2，=，S3=，结合已知条件推出AD2+BC2=9AB2，因为AD2+BC2=（DC-AB）2，所以代入化简得：CD=4AB，CD=-2AB（不符合题意，舍去），即可答案选D．
【解析】
如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，
∴S1=AM×MD=AM2，
根据勾股定理得：AM2+MD2=AD2，
∵AM=MD，
∴2AM2=AD2，
∴S1=，
同理：∵S2=AN2•，2AN2=AB2，∴S2=，
同理：∵S3=BP2•，2BP2=BC2，∴S3=，
∵S1+S3=9S2
∴，
∴（DC-AB）2=9AB2
∴（DO-3AB）（DO+3AB）=0，
∴DO=3AB，DO=-2AB（不合题意，舍去），
∴CD=DO+OC=3AB+AB=4AB．
故选D．