Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，C为⊙O₂上一点（不与A，B，O₁重合），直线CB与⊙O₁交于另一点D．
（1）如图（1），若AD是⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，求证：AC=CD；
（2）如图（2），若C是⊙O₁外一点，求证：O₁C丄AD；
（3）如图（3），若C是⊙O₁内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

Answer

（1）连接O1O2，连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；
（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC=∠E，再利用=，得出∠E=∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；
（3）根据已知得出∠B=∠EO1C，又∠E=∠B，即可得出∠EO1C=∠E，得出CO1∥ED，即可求出．
（1）证明：连接O1O2，连接C01
∵AC为⊙O2直径
∴∠AO1C=90°
即CO1⊥AD，
∵AO1=DO1
∴DC=AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵四边形AEDB内接于⊙O1，
∴∠E+∠ABD=180°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠E，
又∵=，∴∠ABC=∠AO1C，
∴∠E=∠AO1C，
∴CO1∥ED，
又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，
∴O1C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：
连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵∠B+∠AO1C=180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，
∴∠B=∠EO1C，
又∵∠E=∠B，
∴∠EO1C=∠E，
∴CO1∥ED，又ED⊥AD，
∴CO1⊥AD．