Question

如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，则x=______；
（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．

Answer

（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5-x，又由，⊙A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；
（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，由AC2-AF2=BC2-BF2，则1-m2=（5-x）2-（x-m）2，分别从2.4＜x＜3时与2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．
【解析】
（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，
∴BC=BD=5-x，在△ABC中，AC=1，
∴（5-x）-1＜x＜1+（5-x），
解得：2＜x＜3；

（2）∵△ABC为直角三角形，
若AB是斜边，则AB2=AC2+BC2，
即x2=（5-x）2+1，
∴x=2.6；
若BC是斜边，则BC2=AB2+AC2，
即（5-x）2=x2+1，
∴x=2.4．
故答案为：2.4或2.6．

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，
①如图，当2.4＜x＜3时，AC2-AF2=BC2-BF2，则1-m2=（5-x）2-（x-m）2，
得：m=，
∴h2=1-m2=，
∴W=x2h2=-6x2+30x-36，
即W=-6（x-）2+，
当x=2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②当2＜x≤2.4时，同理可得：W=-6x2+30x-36=-6（x-）2+，
当x=2.4时，W取最大值1.44＜1.5，
综合①②得，W的最大值为1.5．