根据折叠的性质知AB=A′B=a;而O是Rt△ABD斜边AD的中点,则有AO=OB,由此可证得△ABO是等边三角形,那么∠A′BO=∠ABO=60°,进而可求出∠A′BM=15°;当A′M最小时,A′M⊥BC,此时△A′BM是直角三角形,取A′B的中点N,连接MN,那么∠A′NM=30°,A′N=MN=A′B=a;过M作A′B的垂线,设垂足为H,在Rt△MNH中,根据∠A′NM的度数即可表示出NH,MH的长,进而可求出A′H的长,即可在Rt△A′MH中,根据勾股定理求出A′M的长.
【解析】
由折叠的性质知:AB=A′B=a,∠ABO=∠A′BO;
∵O是Rt△ABD斜边AD的中点,
∴OA=OB,即△ABO是等边三角形;
∴∠ABO=∠A′BO=60°;
∵∠ABD=90°,∠CBD=45°,
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=135°,
∴∠A′BM=135°-120°=15°;
易知当A′M⊥BC时,A′M最短;
过M作MH⊥A′B于H,取A′B的中点N,连接MN,如右下图;
在Rt△A′BM中,N是斜边A′B的中点,则BN=NM=A′N=a,∠B=∠NMB=15°;
∴∠A′NM=30°;
∴MH=MN=a,
∴NH==a;
∴A′H=A′N-NH=a;
由勾股定理得:A′M===a.