Question

已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧的长；
（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4cm，求OC的长．

Answer

（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，利用弧长公式得出弧的长；
（2）分两种情况分析，①当P在∠AOB内部，根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出EF=4cm，得出EM=2cm，进而得出OC的长．
②当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，进而求出即可．
【解析】
（1）∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
∴∠DPC=120°，
∴劣弧的长为：=2πcm；

（2）可分两种情况，
①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，
∵EF=cm，∴EM=2cm，
在Rt△EPM中，PM==1cm，
∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，
∴PN=2PM=2cm，
∴NC=PN+PC=5cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×=cm．
②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，
由①可知，PN=2cm，
∴NC=PC-PN=1cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×=cm．
综上所述，OC的长为cm或cm．