Question

某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）

问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P₁，P₂三等分边AB，R₁，R₂三等分边AC．经探究知=S_△ABC，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q₁，Q₂三等分边DC．请探究与S_{四边形ABCD}之间的数量关系．
问题3：如图3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分边DC．若S_{四边形ABCD}=1，求．
问题4：如图4，P₁，P₂，P₃四等分边AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分边DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．请直接写出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一个等式．

Answer

问题1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得S△BCR2=S△ABR2，根据图形的面积关系，得S△ABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；
问题2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；
问题3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由问题2的结论可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1，可求S四边形P2Q2Q3P3；
问题4，图4中，由问题2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1，S2，S3，S4的等量关系．
【解析】
问题1，证明：
如图1，连接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1为中线，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，
同理S△P1R2P2=S△P2R2B，
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四边形P1P2R2R1，
由R1，R2为AC的三等分点可知，S△BCR2=S△ABR2，
∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1，
∴S四边形P1P2R2R1=S△ABC；
问题2，S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2．
理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1为中线，
∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2，
由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，
∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四边形AQ1CP2，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四边形P1Q1Q2P2，
即S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2；
问题3，【解析】

如图3，由问题2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，
三式相加得，S2+S4=S1+S5，
∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，

即S四边形P2Q2Q3P3=S四边形ABCD=；
问题4，如图4，关系式为：S2+S3=S1+S4．