Question

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME=4，MD：CO=2：5．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．

Answer

（1）连接DF，根据CD是圆直径，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根据D是Rt△ABC斜边AB的中点，DC=DA，∠DCA=∠A，可证明△OME与△EMC相似，所以，ME2=OM×MC，结合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，设OM=3xMC=8x，可求x=2，则直径CD=10x=20；
（3）根据Rt△ABC斜边AB的中线CD=20可求得AB=40，cos∠B=0.6，BC=24，AC=32．设直线AB的函数表达式为y=kx+b把A（32，0）B（0，24）代入利用待定系数法求得，直线AB的函数解析式为y=-x+24．
（1）证明：连接DF，
∵CD是圆直径∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）【解析】
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴∴ME2=OM×MC，
又∵ME=∴OM×MC==96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
设OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直径CD=10x=20．

（3）【解析】
∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=，∴BC=24，
∴AC=32，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b根据题意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得，32×k+b=0，
∴直线AB的函数解析式为y=-x+24．