Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，
（1）当OA=时，求点O到BC的距离；
（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？
（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；
（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

Answer

（1）过点O作OD⊥BC于点D，易证△ODB∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）首先证明直线BC与⊙O相切，则四边形OECF为矩形，即可求得AF，进而求得AP的长；
（3）首先求得圆的半径，根据BC边与⊙O有公共点即直线与圆相切或相交，则圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求解；
（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，矩形OGCH是正方形，设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，易证
△AOG∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
【解析】

（1）在Rt△ABE中，．（1分）
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，
∴点O到BC的距离为．（3分）

（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．
∴直线BC与⊙O相切．（5分）
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3-=，
∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）

（3）；（9分）

（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，
∴，∴，
∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）