解法一、平移对角线AC后,会构造出一个直角三角形,这个直角三角形的面积就等于原梯形的面积.该三角形的斜边为3+7=10,此时,它的高越大,面积就越大.解法二、过O作ON⊥AD于N,设ON=h,AO=a,DO=ka,求出△ANO∽△AOD,得出比例式,代入求出h=,根据勾股定理得出a2+(ka)2=32,求出a2=,推出h=,只有当k=1时,即△AOD是等腰三角形时,h有最大值是1.5,同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5,据梯形的面积公式代入求出即可,
【解析】
解法一、过D作DE∥AC交BC延长线于E,
∵AD∥BC,DE∥AC,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE,
∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积,
即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积,
∵AC⊥BD,DE∥AC,
∴∠BDE=90°,BE=3+7=10,
∴此时△BDE的边BE边上的高越大,它的面积就越大,
即当高是BE时最大,
即梯形的最大面积是×10××10=25;
解法二、过O作ON⊥AD于N,
设ON=h,AO=a,DO=ka,
∵∠DAO=∠DAO,∠ANO=∠AOD=90°,
∴△ANO∽△AOD,
∴=,
∴=
∴h=,
而在Rt△AOD中,由勾股定理得:a2+(ka)2=32,
a2=,
∴h=,
∵k>0,
∴只有当k=1时,即△AOD是等腰三角形时,h有最大值是1.5,
同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5,
∴梯形ABCD的面积的最大值是:S=×(3+7)×(1.5+3.5)=25,
解故答案为:25.