Question

在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

Answer

（1）过点D作DM⊥x轴于点M，求证△ADM∽△ABO，根据相似比求AM的长度，推出OM和MD的长度即可；
（2）根据等腰三角形的性质，推出α=180°-2∠ABC，结合已知条件推出∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，即α=2β；
（3）做过点D作DM⊥x轴于点M，根据勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D点的横坐标和纵坐标，然后求出C点坐标，就很容易得到CD的解析式了．
【解析】
（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有，
得，
∴OM=，
∴，
∴点D的坐标为（，）．

（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD==，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x-3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（4x-3）2，
∴x=，
∴D（，），
∴直线AD的解析式为：y=x-，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=-x+b，把D（，）代入得，=-×+b，
解得b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1，
∴直线CD的解析式为y=-4．
同理可得直线CD的另一个解析式为y=x-4．