Question

已知抛物线，点F（1，1）．
（I）求抛物线C₁的顶点坐标；
（II）①若抛物线C₁与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C₁于点B，求证：．
②取抛物线C₁上任意一点P（x_P，y_P）（0＜x_P＜1），连接PF，并延长交抛物线C₁于Q（x_Q，y_Q）．试判断是否成立？请说明理由；
（III）将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线，若2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer

（I）将抛物线C1：y1=x2-x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C1的顶点坐标；
（II）①由A（0，1），F（1，1），可得AB∥x轴，即可求得AF与BF的长，则问题得解；
②过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，即可求得PF=yp，同理QF=yQ，然后由△PMF∽△QNF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（III）令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x，x′，且x＜x′，观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x，x′的值不断增大，当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x′处取得．可得：当x=2时，所对应的x′即为m的最大值．
【解析】
（I）∵y1=x2-x+1=（x-1）2+，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，）；

（II）①证明：根据题意得：点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴+=2；

②+=2成立．
理由：
如图，过点P（xp，yp）作PM⊥AB于点M，
则FM=1-xp，PM=1-yp，（0＜xp＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM2+PM2=（1-xp）2+（1-yp）2，
又点P（xp，yp）在抛物线C1上，
得yp=（xp-1）2+，即（xp-1）2=2yp-1，
∴PF2=2yp-1+（1-yp）2=yp2，
即PF=yp，
过点Q（xQ，yQ）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=yQ，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴，
这里PM=1-yp=1-PF，QN=yQ-1=QF-1，
∴，
即=2；

（III）令y3=x，
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x，x′，且x＜x′，
∵抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的，
观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x，x′的值不断增大，
∴当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x′处取得．
可得：当x=2时，所对应的x′即为m的最大值．
于是，将x=2代入（x-h）2=x，
有（2-h）2=2，
解得：h=4或h=0（舍去），
∴y2=（x-4）2．
此时，由y2=y3，得（x-4）2=x，
解得：x=2，x′=8，
∴m的最大值为8．