Question

已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据对称轴公式求出x=-，求出即可；
（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；
（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．
【解析】
（1）由，
得，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如图1，设平移后的抛物线的解析式为，
则C（0，k）OC=k，
令y=0即，
得，x2=3-，
∴A，B，
∴，
=2k2+8k+36，
∵AC2+BC2=AB2
即：2k2+8k+36=16k+36，
得k1=4，k2=0（舍去），
∴抛物线的解析式为，

方法二：
∵，∴顶点坐标，
设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标，
∴平移后的抛物线：，
当y=0时，，得，x2=3+，
∴A，B，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，则OC2=OA•OB（6分），
即，
解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），
∴平移后的抛物线：；

（3）方法一：
如图2，由抛物线的解析式可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，
∴，
，
在Rt△COD中，CD==AD，
∴点C在⊙D上，
∵，
∴DM2=CM2+CD2
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直线CM与⊙D相切．

方法二：
如图3，由抛物线的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．
∴直线CM与⊙D相切．