Question

在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB=AC时，（如图1），
①∠EBF=______°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB=kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

Answer

（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．
②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．
（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．
【解析】
（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，
∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形
设EF=x，BE=y，
则：BG=GD=y
FD=y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴=
即：=
得：x=（-1）y
∴FD=y+y-（-1）y=2y
∴FD=2BE．

（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴=，即=，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴=，即==k，
∴=．